统一观点下的
塞瓦定理 与 梅涅劳斯定理
上期说过塞瓦定理，本期在说塞瓦定理与梅涅劳斯定理关系之前，需要先把梅涅劳斯定理介绍一下。
但在讲解梅涅劳斯定理之前，还需要说明一下，一个三角形被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线或者与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），或者与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交），如下图左右两图所示。也可以说，直线与三角形的边有偶数个交点（0或2），当然也就与三角形的延长线有奇数个交点（3或1）。下面的梅涅劳斯定理与此有关。
梅涅劳斯定理：
有一个三角形ABC，在它的三边BC、CA、AB上（或它（它们）的延长线上）相应地各取一点X、Y、Z（如下图所示），如果X、Y、Z三点共线，那么，
证明
用到的知识：
（1）一个三角形的面积等于两边长度的乘积再乘以两边夹角的正弦，比如，在上图中，三角形ABC面积为
（2）一个角的正弦与这个角的补角的正弦相等，即
好的，下面证明开始。
（注意，上面三个式子中计算其面积的三角形一定要是有一条边位于共点线XYZ上，即三角形AZY，BXZ，CXY。而三角形ABC本身的面积不应该出现。）
把上面三个式子相乘，左边得1，右边分子分母中有三种不同的因子在分子分母中都各出现一次，约分约掉后，最后得到
X、Y、Z三点都在三边延长线上的情况也可以类似证明。梅涅劳斯定理得证。
梅涅劳斯定理的逆定理也成立：
有一个三角形ABC，在它的三边BC、CA、AB上相应地各取一点X、Y、Z（一定要有一点或三点在边的延长线上），如果
那么X、Y、Z三点共线。
逆定理的证明：可以先取AB上的点Z和CA上的点Y，连接ZY并延长，与BC（或CB）的延长线交于一点X’。根据梅涅劳斯定理，有
而
说明点X’与点X重合。所以逆定理正确。
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你发现没有，上期讲塞瓦定理时也出现了上面这个三个比值相乘等于1的式子。这不是偶然的。两个定理存在着内在的联系和区别。
塞瓦定理与梅涅劳斯定理
有一个三角形ABC，在它的三边BC、CA、AB上（或延长线上）相应各取一点X、Y、Z（如下图所示），规定线段是有方向的（比如AB若为正，则BA就为负）。于是，
（1）如果AX、BY、CZ三线共点（图中点P），那么
（塞瓦定理）
（2）如果X、Y、Z三点共线（ 图中直线”ZY(X)” ）。那么
（梅涅劳斯定理）
可以归结为：塞瓦定理说的是三线共点的性质和判定，而梅涅劳斯定理涉及的是三点共线的性质和判定。上面两个等式中，三个比值的乘积，一个等于1，一个等于-1，正负号的区别却是三线共点和三点共线的区别。
上图中显示出，点Y和Z分别位于CA和AB上（CY/YA和AZ/ZB均为正值）且ZY不平行于BC，那么，（1）点X位于BC上，这说明BX与XC是同方向的，所以比值BX/XC是正值，三个比值的乘积也是正值，于是，“三个比值的乘积等于1”一定对应于“AX、BY、CZ三线共点”，即塞瓦定理。（2）点X跑到了BC（或CB）的延长线上（上图用加了括号的X表示），这说明BX与XC的方向一定相反，所以比值BX/XC是负值，那么，如果这个比值的绝对值正好等于X位于BC内部三线共点时的相应比值，这时正好能够使得（X）、Y、Z三点共线，这正是梅涅劳斯定理。注意，三个比值乘积为负还有一种情况，就是X、Y、Z三个点都位于三角形三条边的延长线上，这时的三个比值都为负值，三个负值相乘仍然为负，没有问题。
附：梅涅劳斯定理另外两种证明方法
如下图所示，点X位于BC的延长线上，点Y、Z分别位于CA和AB上，X、Y、Z三点共线，下面来证明
证明一（如下图所示）
分别过点A、B、C向共点之线XYZ作垂线，垂足分别为D、E、F，垂线高分别为ha、hb、hc。所以，
三式相乘，得
证明二（如下图所示）
过共点线XYZ上一点（我们这里就取点X）作共点线XYZ的垂线L。分别过点A、B、C作垂线L的垂线，与垂线L分别交于点D、E、F。所以，
若不考虑线段的方向，则三式相乘，得
若考虑线段的方向，则三式相乘后，得
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原文标题：塞瓦定理 与 梅涅劳斯定理(塞瓦定理)
